Een exponentiële functie heeft een constante als basis voor een variabele exponent. Natuurlijk, wanneer de exponent wordt ervan uitgegaan de waarde van een positief geheel getal dat, de functie alleen is gelijk aan het product van dat vele bases. Bijvoorbeeld 2 ^ x is 2 x 2 x 2 = 8 wanneer x = 3. Hier, de caret ^ verwijst naar de machtsverheffing. De berekeningen complexer wanneer je weg te nemen bepaalde veronderstellingen, zoals x wordt een geheel getal, of positief is. Van bijzonder belang voor financiers en wetenschappers is het getal e = 2.718281... Deze irrationaal getal, genaamd "Eulers nummer", of het grondtal voor de natuurlijke logaritme, heeft de interessante eigenschap dat e ^ x heeft een helling bij x die gelijk is aan de waarde van e ^ x zelf. Deze functie wordt beschreven continue processen gevonden in financiën en fysica, zoals continue compounding en radioactief verval.
Eenvoudige bewerkingen
Definiëren van de exponentiële functie C ^ x, als x<0, to="" be="" the="" reciprocal="" of="" c^(-x).="" for="" example,="" 2^(-2)="" equals="" 1/(2^2)="">
Definiëren van de exponentiële functie C ^ x 1 worden als x = 0. Dit is zinvol omdat bijvoorbeeld 2 ^ 3 / 2 ^ 3 = 1 en 2 ^ 3 / 2 ^ 3 = 2^(3-3). Daarom is het zinvol om te definiëren van 2 ^ 0 als 1.
Definiëren van de exponentiële functie C ^ x als x geen getal is maar is rationeel zoals aangetoond in het volgende voorbeeld. Aanduiding van de 2^(3/4) met de letter E, als een tijdelijke aanduiding, aangezien het het onbekende maar u wilt nog steeds kunnen manipuleren het algebraïsch. E ^ 4 = 2 ^ 3 = 8. Dus op te lossen voor het getal E dat wanneer verheven tot de vierde macht, gelijk is aan 8. U wellicht kunt een trial-and-error methode uit het gebied van numerieke analyse dat nummer E niettemin te vinden. Zie de volgende sectie over hoe om dit te doen.
Benaderingen
Bepalen van de exponentiële functie C ^ x wanneer x irrationeel door onderlinge aanpassing, eerst door afronding is x tot een bepaald aantal cijfers.
Stel bijvoorbeeld dat u wilt bepalen 2 ^ x bij x =? 2. De vierkantswortel van 2 is 1.4142... Het afronden op 1,414.
Verdeel de afgeronde exponent met een factor 10 om zich te ontdoen van de decimale komma.
Verder te gaan met het bovenstaande voorbeeld, 2 ^ 1,414 wordt 2^(1414/1000).
Stel de exponentiële functie met de letter E. Raise beide zijden tot een bepaalde macht gelijk aan de noemer van de exponent. Beide stukken verplaatsen naar dezelfde zijde van het gelijkteken. Define dit is een nieuwe functie. Houd in gedachten dat u wilt oplossen voor E.
Verder te gaan met het bovenstaande voorbeeld, 2^(1414/1000) = E. Daarom 2 ^ 1414 = E ^ 1000. Verplaats het allemaal aan de ene kant en daarmee een nieuwe functie: f(E) = 2 ^ 1414 - E ^ 1000 = 0
Denk dat bij een waarde van E, ter aanduiding van het E_1. Steek de stekker in f(E) en zien wat het teken is. Vervolgens vindt een nabijgelegen waarde van E dat het tegenovergestelde teken geeft. Noem het E_2. Daadwerkelijk voor met behulp van een calculator-- of zelfs Excel niet oplossen. Ze registreren niet exponenten zo hoog. U moet voor het programmeren van een computer om dit te doen.
Neem het gemiddelde van E_1 en E_2. Noem het E_3. Het teken van f(E_3) vinden. Vervanging E_3 voor welke E_1 en E_2 produceert hetzelfde teken voor f(E).
Herhaal stap 5 totdat u E_n als dicht bij de echte E als je wilt. Op het gebied van numerieke analyse heet deze iteratie-procedure de doorsnijding methode.
- Een van de eigenschappen van een exponentiële functie met een positieve basis is dat er altijd positief, voor alle waarden van x. Dus je kunt je afvragen wat voorwaarden zal maken een exponentiële functie negatieve — meer in het bijzonder, de grafiek van een exponentiële functie met een negatieve base ziet. Het kan worden aangetoond dat een dergelijke functie, zoals-(3) ^ x, discontinue op elk punt (waartegen het kan worden gedefinieerd), stuiteren heen en weer tussen negatieve en positieve als x veranderingen is. (ref. 1)
