Hoewel lineaire algebra variabelen binnen gevestigde systemen bestudeert, maakt de abstracte algebra bredere generalisaties over de systemen zelf. Bijvoorbeeld, lineaire algebra kan omgaan met een stelsel van vergelijkingen met drie variabelen, en de collectieve vergelijkingen, grafisch, weergegeven bestaan als drie vlakken in een driedimensionale ruimte of een vectorruimte. In plaats van oplossen voor afzonderlijke punten in het vliegtuig, zou de abstracte algebra de eigenschappen van de vectorruimte zich bestuderen.
Lineaire Algebra
Denk aan lineaire algebra als essentieel voor de ontwikkeling van de abstracte algebra, zoals uw begrip van enkelvoudige lineaire expressies het mogelijk maakt om meer complexe structuren conceptualiseren. Een belangrijke toepassing van de lineaire algebra is een stelsel van vergelijkingen, of een set van veel vergelijkingen met dezelfde variabelen. Bijvoorbeeld, vertegenwoordigt een systeem met drie variabelen drie lijnen die elkaar kruisen in één gemeenschappelijk punt binnen een visuele ruimte. Het punt van de kruising is de oplossing; Dit vertelt je hoe de vliegtuigen zijn schuin ten opzichte van elkaar in een vectorruimte.
Abstracte Algebra
Zoals eerder vermeld, abstracte algebra studies algebraïsche structuren als een geheel. Naast vectorruimten behandelt abstracte algebra verschillende andere mathematisch afgeleide vormen en spaties variërend van binaire bestanden--gesloten operaties gekenmerkt door elementaire rekenkunde--tot meer complexe systemen, zoals groepen, ringen, modules en velden. Wat scheidt de abstracte algebra van andere wiskundige disciplines is een focus op structuren als een geheel, in plaats van de afzonderlijke variabelen daarin. Bijvoorbeeld, een student van de abstracte algebra worden betrokken met de eigenschappen van een bepaalde geometrische vorm, zoals omgekeerde en symmetrische relaties tussen de punten.
Axiomatische systemen
Lineaire algebra wordt gevormd door axioma's, of waarheden gebruikelijk om alle problemen en vergelijkingen. Bijvoorbeeld, kunt u het oplossen van een elementaire vergelijking, gebaseerd op het reflexief axioma: "een getal is gelijk aan zichzelf," en de symmetrische axioma: "getallen zijn symmetrisch rond het gelijkteken." Ook de Euclidische meetkunde is een axiomatisch systeem definieert de eigenschappen van de lijnen en bepaalde vormen; biedt de basis voor begrip lineaire vergelijkingen geconceptualiseerd binnen twee - en drie - dimensional ruimten.
Theoretische systemen
Abstracte algebra ontwikkeld toen theoretici begon om eenvoudige definities van nieuwe algebraïsche structuren nog niet gedefinieerd door gevestigde axioma's, of de regels die kenmerkend zijn voor lineaire algebra en de Euclidische meetkunde. Een groep is bijvoorbeeld een set die is gedefinieerd door de specifieke variabelen niet daarin, maar door bijzondere eigenschappen die kenmerkend zijn voor hun relatie tot elkaar. Een eenvoudig voorbeeld van een groep is gehele getallen of gehele getallen met decimalen of breuken. Inverse gehele getallen, zoals 4 en -4, zijn symmetrisch rond nul; Wanneer vermenigvuldigd, ontstaat gehele getallen altijd een ander geheel getal. Een meer complexe groep is een groep van behang, hetgeen overeenkomt met symmetrieën in een tweedimensionale geometrische patroon.
